Математика

[Alina]

17 уравнений, изменивших ход истории

https://www.businessinsider.com/17-equations-that-changed-the-world-2014-3

В книге 2013 года математика и научного автора Яна Стюарта рассматриваются 17 математических уравнений, которые сформировали наше понимание мира.
От базовой геометрии до нашего понимания того, как устроен физический мир, до теорий, лежащих в основе Интернета и наших финансовых систем, эти уравнения изменили историю человечества.

Вы не можете просматривать это вложение.

Математика окружает нас повсюду, и она во многом повлияла на наше понимание мира.

В 2013 году математик и писатель Ян Стюарт опубликовал книгу «17 уравнений, которые изменили мир». Недавно мы наткнулись на эту удобную таблицу в твиттер-аккаунте доктора Пола Коксона, написанную репетитором по математике и блогером Ларри Филлипсом, которая обобщает уравнения.

Вот еще немного об этих замечательных уравнениях, которые сформировали математику и историю человечества:


1. Теорема Пифагора


_{Бюст Пифагора}

Эта теорема лежит в основе нашего понимания геометрии. Он описывает отношение между сторонами прямоугольного треугольника на плоской плоскости: возведите в квадрат длины коротких сторон, a и b, сложите их вместе, и вы получите квадрат длины длинной стороны, c.

Эта взаимосвязь в некотором смысле действительно отличает нашу нормальную плоскую евклидову геометрию от криволинейной неевклидовой геометрии. Например, прямоугольный треугольник, нарисованный на поверхности сферы, не обязательно должен следовать теореме Пифагора.


2. Логарифмы


_{Сотрудница женских вспомогательных ВВС использует логарифмическую линейку, которая использует логарифмы для помощи в сложных вычислениях.}

Логарифмы — это обратные или противоположные экспоненциальные функции. Логарифм по конкретному основанию говорит вам, в какую степень нужно возвести это основание, чтобы получить число. Например, логарифм 1 по основанию 10 равен log(1) = 0, поскольку 1 = 10 0 ; log(10) = 1, так как 10 = 10 1 ; и log(100) = 2, так как 100 = 10 2 .

Уравнение на графике log(ab) = log(a) + log(b) показывает одно из наиболее полезных применений логарифмов: они превращают умножение в сложение.

До появления цифровых компьютеров это был наиболее распространенный способ быстрого умножения больших чисел, что значительно ускоряло вычисления в физике, астрономии и технике.


3. Исчисление


_{Рабочий стоит рядом с параболическими зеркалами на исследовательской площадке солнечной энергетической компании Brenmiller Energy недалеко от Димоны.}

Приведенная здесь формула является определением производной в исчислении. Производная измеряет скорость изменения величины. Например, мы можем думать о скорости или скорости как о производной от положения — если вы идете со скоростью 3 мили в час, то каждый час вы меняете свое положение на 3 мили.

Естественно, большая часть науки заинтересована в понимании того, как вещи меняются, а производная и интеграл — другая основа исчисления — лежат в основе того, как математики и ученые понимают изменение.


4. Закон гравитации


_{Исаак Ньютон}

Закон всемирного тяготения Ньютона описывает силу притяжения между двумя объектами F через универсальную постоянную G, массы двух объектов m 1 и m 2 и расстояние между объектами r. Закон Ньютона — замечательная часть научной истории — он почти идеально объясняет, почему планеты движутся именно так, а не иначе. Также примечателен ее универсальный характер — гравитация действует не только на Земле или в нашей Солнечной системе, но и где угодно во Вселенной.

Гравитация Ньютона прекрасно держалась двести лет, и только общая теория относительности Эйнштейна смогла ее заменить.


5. Квадратный корень из -1


_{Питер Макдиармид}

Математики всегда расширяли представление о том, что такое числа на самом деле, переходя от натуральных чисел к отрицательным числам, дробям и действительным числам. Квадратный корень из -1, обычно записываемый i, завершает этот процесс, приводя к комплексным числам.

Математически комплексные числа в высшей степени элегантны. Алгебра работает совершенно так, как мы этого хотим — любое уравнение имеет решение в виде комплексных чисел, ситуация, которая неверна для действительных чисел: x2 + 4 = 0 не имеет решения в виде действительных чисел, но имеет комплексное решение: квадратный корень из -4 или 2i . Исчисление можно распространить на комплексные числа, и, сделав это, мы обнаружим некоторые удивительные симметрии и свойства этих чисел. Эти свойства делают комплексные числа незаменимыми в электронике и обработке сигналов.


6. Формула многогранников Эйлера


_{Леонард Эйлер}

Многогранники — это трехмерные версии многоугольников, такие как куб справа. Углы многогранника называются его вершинами, линии, соединяющие вершины, — его ребрами, а многоугольники, покрывающие его, — его гранями.

Куб имеет 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Если я сложу вершины и грани вместе и вычту ребра, я получу 8 + 6 - 12 = 2.

Формула Эйлера утверждает, что, пока ваш многогранник ведет себя хорошо, если вы сложите вершины и грани вместе и вычтете ребра, вы всегда получите 2. Это будет верно, если ваш многогранник имеет 4, 8, 12, 20, или любое количество граней.

Наблюдение Эйлера было одним из первых примеров того, что сейчас называют топологическим инвариантом — некоторым числом или свойством, общим для класса фигур, похожих друг на друга. Весь класс «хороших» многогранников будет иметь V + F — E = 2.  Это наблюдение, наряду с решением Эйлера проблемы Кенигсбургских мостов , проложило путь к развитию топологии, раздела математики, необходимого для современная физика.


7. Нормальное распределение


_{Нормальное распределение вероятностей, которое имеет знакомый выше график колоколообразной кривой, повсеместно используется в статистике.}

Нормальная кривая используется в физике, биологии и социальных науках для моделирования различных свойств. Одна из причин, по которой нормальная кривая появляется так часто, заключается в том, что она описывает поведение больших групп независимых процессов.

8. Волновое уравнение



Это дифференциальное уравнение или уравнение, описывающее изменение свойства во времени с точки зрения производной этого свойства, как указано выше. Волновое уравнение описывает поведение волн — вибрация гитарной струны, рябь в пруду после брошенного камня или свет, исходящий от лампы накаливания. Волновое уравнение было ранним дифференциальным уравнением, и методы, разработанные для решения уравнения, открыли дверь для понимания и других дифференциальных уравнений.

9. Преобразование Фурье


_{Цифровая музыка возможна благодаря преобразованию Фурье.}

Преобразование Фурье необходимо для понимания более сложных волновых структур, таких как человеческая речь. Учитывая сложную беспорядочную волновую функцию, такую ��как запись разговора человека, преобразование Фурье позволяет нам разбить беспорядочную функцию на комбинацию ряда простых волн, что значительно упрощает анализ.

Преобразование Фурье лежит в основе современной обработки и анализа сигналов, а также сжатия данных.

10. Уравнения Навье-Стокса.



Подобно волновому уравнению, это дифференциальное уравнение. Уравнения Навье-Стокса описывают поведение текучих сред — воды, движущейся по трубе, молока, подмешанного в кофе, потока воздуха над крылом самолета или дыма, поднимающегося от сигареты. Хотя у нас есть приблизительные решения уравнений Навье-Стокса, которые позволяют компьютерам довольно хорошо моделировать движение жидкости, все еще остается открытым вопрос ( с призом в миллион долларов ), возможно ли построить математически точные решения уравнений.

11. Уравнения Максвелла



Этот набор из четырех дифференциальных уравнений описывает поведение и взаимосвязь между электричеством (E) и магнетизмом (H).

Уравнения Максвелла относятся к классическому электромагнетизму так же, как законы движения Ньютона и закон всемирного тяготения к классической механике — они лежат в основе нашего объяснения того, как электромагнетизм работает в повседневном масштабе. Однако, как мы увидим, современная физика опирается на квантово-механическое объяснение электромагнетизма, и теперь ясно, что эти элегантные уравнения — всего лишь приближение, которое хорошо работает в человеческом масштабе.

12. Второй закон термодинамики


_{Рабочие в теплозащитных комбинезонах заливают расплавленное золото из тигля в формы в цехе золотодобывающей фабрики «Кумтор» в горах Тянь-Шаня.}

Это означает, что в закрытой системе энтропия (S) всегда постоянна или возрастает. Термодинамическая энтропия — это, грубо говоря, мера того, насколько неупорядочена система. Система, которая изначально находится в упорядоченном, неравномерном состоянии — скажем, горячая область рядом с холодной — всегда будет иметь тенденцию к выравниванию, когда тепло будет течь из горячей области в холодную до тех пор, пока не будет равномерно распределено.

Второй закон термодинамики — один из немногих случаев в физике, где время имеет такое значение. Большинство физических процессов обратимы — мы можем вычислить уравнения в обратном порядке, не напутав ничего. Однако второй закон работает только в этом направлении. Если мы кладем кубик льда в чашку с горячим кофе, мы всегда видим, как кубик льда тает, и никогда не видим, как кофе замерзает.

13. Относительность



Эйнштейн радикально изменил курс физики своими теориями специальной и общей теории относительности. Классическое уравнение E = mc 2 утверждает, что материя и энергия эквивалентны друг другу. Специальная теория относительности привнесла такие идеи, как скорость света, являющаяся универсальным пределом скорости, и течение времени, различное для людей, движущихся с разной скоростью.

Общая теория относительности  описывает гравитацию как искривление и складывание самого пространства и времени, и это была первая крупная перемена в нашем понимании гравитации со времен закона Ньютона. Общая теория относительности необходима для нашего понимания происхождения, структуры и конечной судьбы Вселенной.

14. Уравнение Шредингера



Это основное уравнение квантовой механики. Поскольку общая теория относительности объясняет нашу Вселенную в ее самых больших масштабах, это уравнение управляет поведением атомов и субатомных частиц.

Современная квантовая механика и общая теория относительности — две самые успешные научные теории в истории — все экспериментальные наблюдения, которые мы сделали на сегодняшний день, полностью согласуются с их предсказаниями. Квантовая механика также необходима для большинства современных технологий — ядерная энергетика, полупроводниковые компьютеры и лазеры — все они построены вокруг квантовых явлений.

15. Теория информации



Приведенное здесь уравнение относится к информационной энтропии Шеннона . Как и в случае термодинамической энтропии, приведенной выше, это мера беспорядка. В этом случае он измеряет информационное содержание сообщения — книги, изображения в формате JPEG, отправленного в Интернет, или чего-либо, что может быть представлено символически. Энтропия Шеннона сообщения представляет собой нижнюю границу того, насколько это сообщение может быть сжато без потери части его содержимого.

Измерение энтропии Шеннона положило начало математическому изучению информации, и его результаты играют центральную роль в том, как мы сегодня общаемся в сетях.

16. Теория хаоса



Это уравнение является логистической картой Мэя . Он описывает процесс, развивающийся во времени — x t+1 , уровень некоторой величины x в следующий период времени — задается формулой справа и зависит от x t ,  уровня x в данный момент. k – выбранная константа. Для определенных значений k карта показывает хаотическое поведение: если мы начнем с некоторого определенного начального значения x, процесс будет развиваться в одном направлении, но если мы начнем с другого начального значения, даже очень близкого к первому значению, процесс будет развиваться совершенно по другому пути.

Мы видим хаотичное поведение — поведение, чувствительное к начальным условиям — подобное этому во многих областях. Погода является классическим примером: небольшое изменение атмосферных условий в один день может привести к совершенно другим погодным системам через несколько дней, что чаще всего отражается в идее бабочки, взмахивающей крыльями на одном континенте, вызывающей ураган на другом континенте.

17. Уравнение Блэка-Шоулза


_{Трейдеры работают перед открытием торгов в зале Нью-Йоркской фондовой биржи (NYSE), 10 декабря 2018 года в Нью-Йорке.}


Еще одно дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза описывает, как финансовые эксперты и трейдеры находят цены на деривативы. Деривативы — финансовые продукты, основанные на некотором базовом активе, таком как акции, — являются важной частью современной финансовой системы.

Уравнение Блэка-Шоулза позволяет финансовым специалистам рассчитать стоимость этих финансовых продуктов на основе свойств производного инструмента и базового актива.